![{\displaystyle \mathrm {MN} =z,\quad \mathrm {SN} ={\frac {k}{\operatorname {Cos} .\alpha }}=a,\quad \mathrm {NN'} =k\operatorname {d} x\operatorname {Tang} .\alpha =a\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e7e75cf8ddcf19fd0cfae1ae3097d9041a7f46)
donc
![{\displaystyle \operatorname {d} S=az\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .\alpha \left(1-{\frac {z}{2a}}\right)={\frac {z\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .\alpha }{2}}\left[a+(a-z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab6a25c00e3aecb64cb064b5aa1d42a82e637a8)
en mettant donc ici pour
sa valeur en
on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} S={\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha }{2}}\left\{{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}+{\frac {n\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09192802f0aa3814f71321f51bd7fab52f3800e)
(I)
Le triangle rectangle
donne
![{\displaystyle \mathrm {CP={\frac {SC.CN}{SN}}} =k\operatorname {Sin} .\alpha =a\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c43cc9bbdd0dfa69f178baa1af2f89e01848334)
mais, en représentant par
le volume de la pyramide qui a la surface
pour base et son sommet en
on a
![{\displaystyle \operatorname {d} V={\frac {1}{3}}CP.\operatorname {d} S\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c016e1e8c7ff128b0eea447fdd6f4eecd4f45c93)
donc, en substituant, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{6}}\left\{{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}+{\frac {n\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe242e06c3daf06c8e7a0efe2ca8c53ee4c4d9d)
(II)
tout se réduit donc à intégrer les deux formules,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecac13b7171005490c453eaef1ee102b572ecad)
Or, il suffit pour cela de savoir intégrer la première ; car en différentiant sous le signe, par rapport à
l’intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d3fbdb1be10c9414e738b2e531c3bf6794d79c)
il vient