![{\displaystyle -\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a63a06e23653a22fd5c109e95268384486d81f3)
d’où l’on voit qu’en posant
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}=\operatorname {f} (n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af12b014e1bd11c1c2c4e8672c5fb15a3b095a0)
on aura
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}=-{\frac {\operatorname {d} \operatorname {f} (n)}{\operatorname {d} n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a837313209637dd8b63a47fdf4a812f9a83027d4)
et par suite
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}+n\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}=\operatorname {f} (n)-n.{\frac {\operatorname {d} \operatorname {f} (n)}{\operatorname {d} n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203735fff955816dbc5046be3857246bbe4a2411)
[1]
valeur qu’il ne s’agira plus que de substituer dans les formules (I) et (II).
Pour intégrer donc la formule
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedbd5617a9b269f4f37f6d22951247e67512b31)
nous poserons d’abord
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x=y,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72049e1fa0f65e569cb84a6b4b732132e7cfe79)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x=\operatorname {d} y,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a26d5b994c61ef8f6a60afa417592d8dbfeb4d9)
et
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b941b5d569f63c69100b72e6a6980aea749cabba)
elle deviendra ainsi
- ↑ On peut remarquer qu’en général
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{m}.\left\{\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {f} (x)}{n+\phi (x)}}\right\}}{\operatorname {d} n}}=\pm 1.2.3\ldots m\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {f} (x)}{\left[n+\phi (x)\right]^{m+1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9522f4e3a2e93aca61d7743eddab4c23a5405e17)
et
étant des fonctions indépendantes de
et le signe supérieur ou le signe inférieur deyant être pris suivant que
est un nombre pair ou un nombre impair.