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$-\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}\,;$

d’où l’on voit qu’en posant

$\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}=\operatorname {f} (n),$

on aura

$\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}=-{\frac {\operatorname {d} \operatorname {f} (n)}{\operatorname {d} n}},$

et par suite

$\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}+n\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{(n+\operatorname {Sin} .x)^{2}}}=\operatorname {f} (n)-n.{\frac {\operatorname {d} \operatorname {f} (n)}{\operatorname {d} n}}$

$=-n^{2}.{\frac {\operatorname {d} .\left[{\frac {\operatorname {f} (n)}{n}}\right]}{\operatorname {d} n}}.$^[1]

valeur qu’il ne s’agira plus que de substituer dans les formules (I) et (II).

Pour intégrer donc la formule

${\frac {\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}},$

nous poserons d’abord

$\operatorname {Sin} .x=y,\quad$d’où$\quad \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x=\operatorname {d} y,\quad$et$\quad \operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,;$

elle deviendra ainsi

1. On peut remarquer qu’en général
   ${\frac {\operatorname {d} ^{m}.\left\{\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {f} (x)}{n+\phi (x)}}\right\}}{\operatorname {d} n}}=\pm 1.2.3\ldots m\int {\frac {\operatorname {d} x\operatorname {f} (x)}{\left[n+\phi (x)\right]^{m+1}}}\,;$

   $\operatorname {f} (x)$ et $\phi (x)$ étant des fonctions indépendantes de $n$ et le signe supérieur ou le signe inférieur deyant être pris suivant que $m$ est un nombre pair ou un nombre impair.