![{\displaystyle {\frac {y\operatorname {d} y}{(y+n){\sqrt {1-y^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b966de81f2a613f10289605ad7b0fa612a2bca2f)
qu’il faudra intégrer entre
et ![{\displaystyle y=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ef7c33df0c4a9c6b609f8a1f2502d74e003f5f)
Nous poserons ensuite
![{\displaystyle {\sqrt {1-y^{2}}}=t(1-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d125177051e45a93fe456fc133b59a55da0e38)
d’où
![{\displaystyle y={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\quad \operatorname {d} y={\frac {4t\operatorname {d} t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}},\quad {\sqrt {1-y^{2}}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfc1b382c976412dbc6aca798cd432b3f5e3b4d)
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle {\frac {2\left(t^{2}-1\right)\operatorname {d} t}{\left(t^{2}+1\right)\left[(n+1)t^{2}+(n-1)\right]}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb85975345788101ad6dfe28f1a0eecce0a6b535)
différentielle qui se rapporte aux fractions rationnelles, et dont il faudra prendre l’intégrale entre
et ![{\displaystyle t=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdde85f4a3d1cc3b5e8baaee84ded3cd5cf9fcdd)
Mais pour poursuivre l’intégration sans tomber dans les imaginaires ou dans l’indétermination, il est nécessaire de distinguer les trois cas de
on obtiendra alors les intégrales définies que voici :
Pour
![{\displaystyle n>1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}-{\frac {n}{\sqrt {n^{2}-1}}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {1}{n}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9acc8c4c361310faa05852b5a2d10927a6b4a22)
Pour
![{\displaystyle n<1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}+{\frac {n}{\sqrt {1-n^{2}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4200dbfd45906d9e30407331543a4f3ee553afd)
Pour
![{\displaystyle n=1,\ldots {\frac {\varpi }{2}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b5829e9b0cc2584f9d4d8a05ca97124fd8b209)
En achevant le calcul, comme il a été dit ci-dessus, et ayant toujours égard aux limites des intégrales, on trouvera finalement, en doublant le résultat,