Pour
(Section elliptique),
![{\displaystyle S=a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}+{\frac {n}{n^{2}-1}}\left[1-{\frac {n^{2}}{\sqrt {n^{2}-1}}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {1}{n}}\right)\right]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50b2f2888b8ee2210e3a347cb74464753d18b29)
![{\displaystyle V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{3}}\left\{{\frac {\pi }{2}}+{\frac {n}{n^{2}-1}}\left[1-{\frac {n^{2}}{\sqrt {n^{2}-1}}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {1}{n}}\right)\right]\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef23d7f6a42cedcf50f12c9f5b17dea9540597e8)
Pour
(Section hyperbolique),
![{\displaystyle S=a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {n}{1-n^{2}}}\left[1+{\frac {n^{2}}{\sqrt {1-n^{2}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}\right]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc96751f9ec267febca9471c34a7332b243c63ce)
![{\displaystyle V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{3}}\left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {n}{1-n^{2}}}\left[1+{\frac {n^{2}}{\sqrt {1-n^{2}}}}\operatorname {Log} .{\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}\right]\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5427fce0b3ebe7072e673d70f95ce355b0be9168)
Enfin, pour
(Section parabolique),
![{\displaystyle S=a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {2}{3}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a054f469263af6970ab6a30a0a25f899059020e7)
![{\displaystyle V={\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{3}}\left\{{\frac {\pi }{2}}-{\frac {2}{3}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212c4aa6c6e0b219f9ac96c56107a2cbe7d6e693)
À la vérité, les deux dernières formules ne sauraient, à cause de la disparition de
s’obtenir par le procédé général que nous avons indiqué ; mais lorsque
l’intégration est de première facilité.
Si l’on remarque que
est l’arête ou côté du cône, et que conséquemment on a pour sa demi-surface convexe et son demi-volume
et
on verra que la partie de ces intégrales indépendante de
exprime
et le volume compris entre cette surface et les deux plans
et
Les quatre premières formules se simplifient assez et deviennent