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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$2(z'-c)x-2\left\{(z'-c)+(x'+y')\right\}y=x'\left\{(z'-c)-(x'+y')\right\},$

$2(z'-c)y-2\left\{(z'-c)+(x'+y')\right\}x=y'\left\{(z'-c)-(x'+y')\right\}\,;$

d’où

$x=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z-c)+y\right\},$

$y=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z'-c)+x'\right\}$

et de là

$2y-x=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z'-c)+(2x'-y')\right\},$

$2x-y=-{\frac {1}{2}}.{\frac {(z'-c)-(x'+y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}\left\{(z'-c)+(2y'-x')\right\}\,;$

donc

$P'={\frac {2y-x}{z-c}}=-{\frac {(z'-c)+(2x'-y')}{2(z'-c)+(x'+y')}},\quad Q'={\frac {2x-y}{z-c}}=-{\frac {(z'-c)+(2y'-x')}{2(z'-c)+(x'+y')}}.$

comme ci-dessus. Ainsi, les droites du faisceau pourront simplement être exprimées par les deux équations

$X-x'-{\frac {(z'-c)+(2x'-y')}{2(z'-c)+(x'+y')}}(Z-z')=0,\quad Y-y'-{\frac {(z'-c)+(2y'-x')}{2(z'-c)+(x'+y')}}(Z-z'),$

où les trois coordonnées $x',y',z'$ sont tout-à-fait indépendantes les unes des autres.

Du moment qu’on est ainsi parvenu à exprimer les droites d’un faisceau en coordonnées indépendantes les unes des autres, on peut établir entre ces coordonnées quelle relation on voudra ; ce qui revient évidemment à donner au faisceau une nouvelle base tout-à-fait arbitraire. On pourra donc choisir cette base de manière à rendre les fonctions $P'$ et $Q'$ les plus simples possibles, et notamment à en faire disparaître les irrationnels. On pourra donc la choisir aussi de telle sorte qu’elle ait une situation déterminée par rapport aux droites dont le faisceau se compose.