7. Pour en donner deux exemples simples, supposons d’abord qu’on exige que toutes les droites du faisceau soient tangentes à la nouvelle base ; il ne s’agira pour cela (3) que de prendre pour l’équation de cette base l’intégrale de l’équation différentielle partielle
On sent au surplus que, le problème étant déterminé de sa nature, ce ne sera ni l’intégrale générale, ni même l’intégrale complète de cette équation, avec ses deux constantes arbitraires, qui pourra le résoudre. Elle devra donc admettre une solution particulière qui sera la base cherchée.
En appliquant ces considérations au faisceau déjà pris pour exemple, nous aurons pour l’équation différentielle partielle de la surface à laquelle sont tangentes toutes les droites dont ce faisceau se compose, en supprimant les accens, pour plus de simplicité,
L’intégrale générale de cette équation est
On y satisfait aussi en posant
pourvu qu’on lie les deux constantes arbitraires et par la relation
elle admet enfin la solution particulière
laquelle revient aux deux suivantes :
