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$x=y=-(z-c),$

qui sont en effet (2) celles de l’axe du cylindre auquel sont normales toutes les droites du faisceau. Nous donnerons plus loin, au surplus, un procédé direct, pour parvenir à la surface à laquelle toutes les droites d’un faisceau sont tangentes, à quelque base d’ailleurs que ce faisceau soit rapporté.

8. En second lieu ; si l’on voulait que toutes les droites du faisceau fussent normales à la nouvelle base, il faudrait qu’on eût à la fois

$p'=P',\qquad q'=Q'\,;$

en sorte que l’équation différentielle totale de la nouvelle base devrait être

$\operatorname {d} z'=P'\operatorname {d} x'+Q'\operatorname {d} y'\,;$

mais on voit par là même que le problème n’est pas toujours possible ; puisqu’une équation différentielle totale n’est pas toujours intégrable. La condition d’intégrabilité est ici

${\frac {\operatorname {d} P'}{\operatorname {d} y'}}-{\frac {\operatorname {d} Q'}{\operatorname {d} x'}}=P'{\frac {\operatorname {d} Q'}{\operatorname {d} z'}}-Q'{\frac {\operatorname {d} P'}{\operatorname {d} z'}}\,;$

et, quand un faisceau sera de nature à y satisfaire, à cause de la constante arbitraire qui entrera dans l’intégrale, une infinité de surfaces différentes pourront couper orthogonalement les droites dont le faisceau sera composé. Ces surfaces seront, les unes à l’égard des autres, ce que M. Crelle a appelé surfaces parallèles (Annales, tom. XII, pag. 1 et suiv.)

Pour le faisceau déjà pris pour exemple, on a, en supprimant les accens,