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et $\beta$ sont des nombres abstraits, arbitraires et indépendans, et $i$ une longueur indéterminée^[1]. En posant, pour abréger,

$\gamma =p\alpha +q\beta +\left(r\alpha ^{2}+2s\alpha \beta +\beta ^{2}\right){\frac {i}{1.2}}+\ldots$

$G={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta +\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}\alpha ^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\alpha \beta +{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}\beta ^{2}\right){\frac {i}{1.2}}+\ldots$

$H={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta +\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x^{2}}}\alpha ^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\alpha \beta +{\frac {\operatorname {d} ^{2}Q}{\operatorname {d} y^{2}}}\beta ^{2}\right){\frac {i}{1.2}}+\ldots$

on verra, en vertu du théorème de Taylor, qu’alors, tandis que $x$ et $y$ deviennent respectivement $x+\alpha i$ et $y+\beta i,\ z,\ P$ et $Q$ se changent respectivement en $z+\gamma i,\ P+Gi,\ Q+Hi\,;$ de sorte que les équations de la droite émanée du point $(x+\alpha i,\ y+\beta i,\ z+\gamma i)$ de la base du faisceau seront

$\left.{\begin{aligned}&X-x-\alpha i+(P+Gi)(Z-z-\gamma i)=0,\\\\&Y-y-\beta i+(Q+Hi)(Z-z-\gamma i)=0.\end{aligned}}\right\}\qquad$(D′)

Chercher le point d’intersection des deux droites (D) et (D′) serait vouloir résoudre un problème plus que déterminé ; puisqu’on aurait quatre équations pour déterminer trois inconnues $X,Y,Z$ seulement. Le point $(x,y,z)$ étant donc pris arbitrairement sur la base (S) du faisceau, lorsqu’on se sera donné la longueur arbitraire $i,$ un second point $(x+\alpha i,\ y+\beta i,\ z+\gamma i)$ de cette base ne pourra être tel que la droite (D′) qui en émanera rencontre la droite (D),

1. Dans la vue d’abréger, nous avions d’abord voulu nous appuyer ici sur la considération des infiniment petits ; mais nous n’avons guère tardé de reconnaître qu’en procédant ainsi, en même temps que nous abrégions fort peu, nous devenions beaucoup moins clairs.