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$\nu +\nu '={\frac {pQ{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}-qP{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+(1+qQ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-(1+pP){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}}{qP{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}-(1+qQ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}}},$

$\nu \nu '=-{\frac {pQ{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-(1+pP){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}}{qP{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}-(1+qQ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}}},$

on en tirera

$\beta =\nu \alpha ,\qquad \beta =\nu '\alpha \,;$

valeurs qui, substituées tour à tour dans l’équation $(\varkappa )$ donneront, pour les équations des plans tangens, suivant (D), aux deux surfaces développables qui passent par cette droite

$(Q-\nu P)(Z-z)=\left\{pQ+\nu (1+qQ)\right\}(X-x)-\left\{(1+pP)+\nu qP\right\}(Y-y),$

$(Q-\nu 'P)(Z-z)=\left\{pQ+\nu '(1+qQ)\right\}(X-x)-\left\{(1+pP)+\nu 'qP\right\}(Y-y).$

16. Il nous serait facile, d’après cela, d’assigner l’angle sous lequel se coupent les deux surfaces développables qui passent par l’une quelconque des droites du faisceau : bornons-nous à chercher comment ce faisceau doit être conditionné pour que les surfaces développables des deux séries se coupent partout orthogonalement. Il faudra évidemment pour cela que, quelles que soient les deux variables indépendantes $x$ et $y,$ nos deux plans tangens soient perpendiculaires l’un à l’autre, ce qu’on exprimera, comme l’on sait, en écrivant

$(Q-\nu P)(Q-\nu 'P)$

$+\left\{pQ+\nu (1+qQ)\right\}\left\{pQ+\nu '(1+Qq)\right\}+\left\{(1+pP)+\nu qP\right\}\left\{(1+pP)+\nu 'qP\right\}=0\,;$