Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/169

ou en développant et en rassemblant les termes affectés de $\nu \nu '$ et $\nu +\nu '$

$\left\{\left(1+q^{2}\right)P^{2}+(1+qQ)^{2}\right\}\nu \nu '$

$+\left\{pQ(1+qQ)+qP(1+pP)-PQ\right\}(\nu +\nu ')$

$\left\{\left(1+p^{2}\right)Q^{2}+(1+pP)^{2}\right\}=0\,;$

ou enfin, en remettant pour $\nu \nu '$ et $\nu +\nu '$ leurs valeurs et chassant les dénominateurs,

$\left\{\left(1+q^{2}\right)P^{2}+(1+qQ)^{2}\right\}\left\{pQ{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-(1+pP){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\right\}$

$-\left\{pQ(1+qQ)+qP(1+pP)-PQ\right\}\times$

$\left\{pQ{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}-qP{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+(1+qQ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-(1+pP){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\right\}$

$-\left\{\left(1+p^{2}\right)Q^{2}+(1+pP)^{2}\right\}\left\{qP{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}-(1+qQ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\right\}=0.$

Telle est donc l’équation qui doit être identique, quels que soient $x$ et $y,$ pour que les surfaces développables des deux séries se coupent partout orthogonalement. En la développant, ordonnant par rapport aux coefficiens différentiels de $P$ et $Q$ et décomposant, elle devient

$(1+pP+qQ)\left\{P(Q-q){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-Q(P-p){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\right.$

$\left.+\left(1+Q^{2}+pP\right){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}-\left(1+P^{2}+qQ\right){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}=0.\right\}$

Or, le premier facteur ne saurait être nul de lui-même (3) qu’au-