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tant qu’on admettrait que toutes les droites du faisceau sont tangentes à sa base (S), ce que nous n’avons pas supposé ; c’est donc l’autre qui devra être nul de lui-même pour que la condition dont il s’agit se trouve satisfaite ; mais ce facteur égalé à zéro n’est autre chose que l’équation $(\delta )$ du précédent paragraphe, qui exprime, comme nous l’avons vu, que les droites dont le faisceau se compose peuvent être traversées orthogonalement par une même surface, et que nous avons mise ensuite sous la forme plus simple

{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {Q-q}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}{\frac {P-p}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}\,;\qquad (\varepsilon )

il y a donc une parfaite identité entre les deux conditions ; ainsi, dire que les deux séries de surfaces développalles dans lesquelles se distribuent des droites qui se succèdent sans interruption dans l’espace, suivant une loi mathématique quelconque se coupent partout orthogonalement, ou dire que ces droites peuvent être traversées orthogonalement par une même surface, c’est dire une seule et même chose en des termes différens^[1].

17. Si l’on introduit tour-à-tour les deux valeurs de $\beta$ en $\alpha$ trouvées ci-dessus (15) dans les formules $(\lambda ),$ on aura pour les équations des points de contact de (D) avec les deux surfaces auxquelles toutes les droites du faisceau sont tangentes,

↑ Il nous eut sans doute été facile de déduire l’identité entre ces deux conditions de la belle théorie d’Euler sur la courbure des surfaces ; et dès lors il nous eut suffi d’assigner l’une d’entre elles pour pouvoir ensuite en conclure l’autre. Si donc nous en avons usé autrement, c’est, d’une part, afin de ne rien emprunter ailleurs, et d’une autre, dans la vue de soumettre notre équation $(\varepsilon )$ à une vérification d’autant plus convenable que, comme nous en avons déjà prévenu, cette équation est fondamentale dans la théorie qui nous occupe.

[1] Il nous eut sans doute été facile de déduire l’identité entre ces deux conditions de la belle théorie d’Euler sur la courbure des surfaces ; et dès lors il nous eut suffi d’assigner l’une d’entre elles pour pouvoir ensuite en conclure l’autre. Si donc nous en avons usé autrement, c’est, d’une part, afin de ne rien emprunter ailleurs, et d’une autre, dans la vue de soumettre notre équation $(\varepsilon )$ à une vérification d’autant plus convenable que, comme nous en avons déjà prévenu, cette équation est fondamentale dans la théorie qui nous occupe.

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