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$\left.{\begin{array}{c}X-x=-P.{\frac {\nu qP+(1+pP)}{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+\nu {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}}},\qquad Y-y=-Q.{\frac {pQ+\nu (1+qQ)}{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+\nu {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}}},\\\\Z-z=+{\frac {\nu qP+(1+pP)}{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+\nu {\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}}}=+{\frac {pQ+\nu (1+qQ)}{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+\nu {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}}}\,;\end{array}}\right\}\quad (\mu )$

$\left.{\begin{array}{c}X-x=-P.{\frac {\nu 'qP+(1+pP)}{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+\nu '{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}}},\qquad Y-y=-Q.{\frac {pQ+\nu '(1+qQ)}{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+\nu '{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}}},\\\\Z-z=+{\frac {\nu 'qP+(1+pP)}{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}+\nu '{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}}}=+{\frac {pQ+\nu '(1+qQ)}{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}+\nu '{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}}}.\end{array}}\right\}\quad (\nu )$

Si, entre l’équation (S) et l’un ou l’autre des systèmes d’équations (8) et (9), on élimine les trois coordonnées $x,y,z\,;$ l’équation résultante en $X,Y,Z$ sera celle de l’une ou de l’autre des deux surfaces auxquelles toutes les droites du faisceau sont tangentes. Or, comme $\nu$ et $\nu '$ sont les deux racines d’une même équation du second degré, excepté le seul cas où l’équation $(\iota )$ sera décomposable en deux facteurs rationnels du premier degré, les deux surfaces dont il s’agit ne seront proprement que deux nappes d’une même surface.

18. Mais, dans la recherche de l’équation commune à ces deux nappes, on peut procéder plus rapidement en opérant comme il suit : la double valeur de $Z-z,$ dans les formules $(\lambda ),$ laquelle renferme implicitement l’équation de condition, donne, en chassant les dénominateurs et ordonnant par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$

$\left\{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}(Z-z)-(1+pP)\right\}\alpha =\left\{qP-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}(Z-z)\right\}\beta ,$

$\left\{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}(Z-z)-(1+qQ)\right\}\beta =\left\{pQ-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}(Z-z)\right\}\alpha \,;$