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$(5x+z-c)^{2}+(5y+z-c)^{2}+(x-y)^{2}=r'^{2}\,;$

$r'$ étant la constante arbitraire. Cette équation est évidemment celle d’une suite de cylindres droits concentriques, dont l’axe commun est donné par la double équation

$5x=5y=-(z-c).$^[1]

1. Il demeure bien établi, par ce qui précède, que si des rayons incidens, normaux à une cylindrique de révolution dont l’axe est donné par la double équation
   $x=y=-(z-c),$

   se réfléchissent à la rencontre d’un miroir plan, dont l’équation soit

   $x+y+z=c,$

   ces rayons, ainsi réfléchis, seront normaux à une autre surface cylindrique de résolution, dont l’axe sera donné par la double équation

   $5x=5y=-(z-c)\,;$

   et rien n’indique, dans notre analise, qu’il doive jamais en être autrement, en général, et que les trajectoires orthogonales des rayons incidens et réfléchis ne doivent être que deux nappes différentes d’une même surface courbe ; puisque les formules $(\sigma )$ sont rationnelles et du premier degré seulement.

   On a donc lieu d’être surpris que M. Dupin ait cru voir (pag. 236) qu’en général, un faisceau de rayons, normaux à une première surface quelconque, se réfléchit à la rencontre d’\nu miroir de forme pareillement quelconque, de manière à former un nouveau faisceau dont les rayons sont normaux à la même surface, et ait regardé comme de pures exceptions les cas où la trajectoire orthogonale des rayons incidens et celle des rayons réfléchis sont deux surfaces distinctes, indépendantes l’une de l’autre. Cette proposition peut d’autant moins être