![{\displaystyle z=\operatorname {f} (x,y),\quad (s)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259e310fc93a05c641c14aa9639897b2c5b6336f)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,\quad (\operatorname {d} s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eea25ddf68ae0e0642e7d1d0237e548b5659dd8)
la question se trouvera réduite à trouver
en fonction de
que nous supposerons les coordonnées du point d’incidence.
En prenant la surface (s’) pour base du faisceau incident, les équations de ce faisceau seront
![{\displaystyle X-x'+p'(Z-z')=0,\qquad Y-y'+q'(Z-z')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcad4cc0035ec59f72b30681c4c72d69d19bed13)
si l’on veut ensuite à cette base substituer la surface inconnue (s), il faudra (5) chercher les valeurs de
en fonction de
au moyen de l’élimination de
entre les cinq équations
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}x-x'+P'(z-z')=0,\qquad Y-y'+Q'(z-z')=0,\\\\P'=p'\qquad \qquad Q'=q',\\\\z'=\operatorname {f} '(x',y').\end{array}}\right\}\quad (\tau ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df4c2c4ea9db6f26207d4a940b39631e2e11bdd)
Pareillement, en prenant la surface (s) pour base du faisceau réfléchi ou réfracté, les équations de ce faisceau seront
![{\displaystyle X-x''+p''(Z-z'')=0,\qquad Y-y''+q''(Z-z'')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4f3d36f0ffb4a7947675704a16d854cccb4c6b)
et, pour les ramener à la base inconnue (s), il faudra (5) déterminer
en fonction de
au moyen de l’élimination de
entre les cinq équations
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}x-x''+P''(z-z'')=0,\qquad Y-y''+Q''(z-z'')=0,\\\\P''=p''\qquad \qquad Q''=q'',\\\\z''=\operatorname {f} ''(x'',y'').\end{array}}\right\}\quad (\tau '')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4d23a8ae2f0b4d0cc2d9682b40eae0e6060799)
Cela posé, les équations (III) du §. II donnent