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On vérifie cette correction en posant $x=0,$ d’où $\operatorname {Cos} .x=1,$ il vient ainsi

${\frac {a}{1}}-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+\ldots =\operatorname {Log} .a(1+a),$

comme cela doit être.

J’allais fermer ma lettre lorsque la remarque suivante m’a frappé. On a, comme l’on sait.

$\operatorname {Cos} .2p=2\operatorname {Cos} .^{2}p-1,$

d’où il résulte

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=p')={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .=2p'^{2}-1\right):$

puis donc qu’on a

${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x-1),$

on aura aussi

${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .={\sqrt {\operatorname {Sin} .x}},$

résultat extrêmement simple.

Voici une singulière conséquence de ce résultat. On a

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=p)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=p)={\frac {\pi }{2}}-\left({\frac {p}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{3}}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {p^{5}}{5}}+\ldots \right),$

en faisant donc $p={\sqrt {\operatorname {Sin} .x}}$ on aura

${\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots =$

${\frac {\pi }{2}}-\left({\frac {\operatorname {Sin} .^{\frac {1}{2}}x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {Sin} .^{\frac {3}{2}}x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\operatorname {Sin} .^{\frac {5}{2}}x}{5}}+\ldots \right)$

équation d’où on tire cette valeur remarquable du quart de la circonférence