![{\displaystyle 0>a^{4}-4a^{2}b^{2}+4b^{4}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4facc5e7179fb01eb022930bb847bed6d21f2004)
ou
![{\displaystyle \quad 0>\left(a^{2}-2b^{2}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20125f6ba73148069f0da1b617967ca24185560)
ce qui est absurde.
On voit que, lorsqu’on aura
ces points se confondront avec les sommets de l’ellipse ; mais qu’ils se rapprocheront de plus en plus de son centre à mesure que
deviendra plus grand par rapport à
ils ne pourront toutefois se confondre avec ce centre que lorsque
sera infini. En particulier, ils se confondront avec les foyers de l’ellipse lorsqu’on aura
On a alors
Pour pouvoir suivre plus exactement toutes les circonstances du cours de la courbe, cherchons ses limites extrêmes dans le sens des
et dans celui des
Pour cela différentions les équations (7), en y considérant
comme la variable indépendante, il viendra ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}&=a.{\frac {\left(b^{2}-c^{2}\right)z+3a^{2}c^{2}}{2z^{4}}}{\sqrt {\frac {z^{4}}{z-a^{2}}}},\\\\{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}&=-{\frac {a}{b}}.{\frac {\left(b^{2}-c^{2}\right)z+3a^{2}c^{2}}{2z^{4}}}{\sqrt {z^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59646e0ada8145d2bcdb34e29af5dc25e358e359)
Les valeurs de
qui rendront
ou
les plus grands ou les plus petits possibles seront donc celles qui rendront ces coefficiens différentiels nuls. Or, en faisant abstraction des cas déjà discutés, on voit qu’elles deviendront nulles l’une et l’autre en posant
![{\displaystyle z=-{\frac {3a^{2}c^{2}}{b^{2}-c^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a402b3bb340d1ad07e5f8f46eac94834edb4cbe5)
il en résulte
![{\displaystyle z+c^{2}=2c^{2}{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}-c^{2}}},\quad z-a^{2}=-a^{2}.{\frac {a^{2}+c^{2}}{b^{2}-c^{2}}},\quad \left(b^{2}-c^{2}\right)z+a^{2}c^{2}=-2a^{2}c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d829f1cedbebceaf89ade4c51835cfcb5845fc)
et par suite