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$x=\pm 2{\frac {a^{2}+b^{2}}{3ac}}{\sqrt {\frac {a^{2}+c^{2}}{3}}},\qquad y=\pm {\frac {2\left(b^{2}-c^{2}\right)}{3bc}}{\sqrt {-{\frac {b^{2}-c^{2}}{3}}}},$

$p=\pm {\frac {a}{b}}{\sqrt {-{\frac {a^{2}+c^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}}.$

Les valeurs de $x$ sont réelles dans tous les cas ; mais celles de $y$ et de $p$ ne le sont qu’autant que $c$ n’est pas moindre que $b$ ou que $a^{2}$ n’est pas moindre que $2b^{2}.$ Si l’on a précisément $c=b$ ou $a^{2}=2b^{2},$ on trouve

$x=\pm {\frac {2b^{2}}{a}}=\pm a,\quad y=0,\quad p=\infty \,;$

ainsi alors les points limites sont aux deux extrémités du grand axe.

Si l’on a $a=2b\,:$ cas où, comme nous l’avons vu, les nœuds ou points doubles sont aux deux foyers, il viendra

$x=\pm a{\sqrt {\frac {343}{324}}},\qquad y=\pm b{\sqrt {\frac {32}{81}}},\qquad p={\sqrt {14}}.$

Voilà donc quatre points hors de l’ellipse qui appartiennent à la courbe, et qui sont les plus distans du centre.

On peut, aussi discuter la courbe comme si l’on avait son équation polaire, en exprimant séparément le rayon vecteur et l’angle qu’il fait avec l’axe en fonction de la variable auxiliaire $z.$ Appelant $r$ ce rayon vecteur et $t$ l’angle qu’il fait avec l’axe, le pôle étant au centre, si l’on prend la somme et ensuite le quotient des formules (7), on aura

$r^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}.{\frac {b^{2}z^{3}-c^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)z^{2}-c^{4}(a^{2}+c^{2})z+a^{2}c^{4}}{z^{3}}},$

$\operatorname {Tang} .t={\frac {\left(b^{2}-c^{2}\right)z+a^{2}c^{2}}{b\left(z+c^{2}\right){\sqrt {z-a^{2}}}}}.$