![{\displaystyle x=\pm 2{\frac {a^{2}+b^{2}}{3ac}}{\sqrt {\frac {a^{2}+c^{2}}{3}}},\qquad y=\pm {\frac {2\left(b^{2}-c^{2}\right)}{3bc}}{\sqrt {-{\frac {b^{2}-c^{2}}{3}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4324b6af005e5394227ae29541b41f138d05d6)
![{\displaystyle p=\pm {\frac {a}{b}}{\sqrt {-{\frac {a^{2}+c^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bdcb32e4c429dfcc982bd77a04447f825fa5406)
Les valeurs de
sont réelles dans tous les cas ; mais celles de
et de
ne le sont qu’autant que
n’est pas moindre que
ou que
n’est pas moindre que
Si l’on a précisément
ou
on trouve
![{\displaystyle x=\pm {\frac {2b^{2}}{a}}=\pm a,\quad y=0,\quad p=\infty \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed2500c3f814a37658867e67f5a48b3964995e7)
ainsi alors les points limites sont aux deux extrémités du grand axe.
Si l’on a
cas où, comme nous l’avons vu, les nœuds ou points doubles sont aux deux foyers, il viendra
![{\displaystyle x=\pm a{\sqrt {\frac {343}{324}}},\qquad y=\pm b{\sqrt {\frac {32}{81}}},\qquad p={\sqrt {14}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555e80490a0626adfec32d0fbb7a432cc3300912)
Voilà donc quatre points hors de l’ellipse qui appartiennent à la courbe, et qui sont les plus distans du centre.
On peut, aussi discuter la courbe comme si l’on avait son équation polaire, en exprimant séparément le rayon vecteur et l’angle qu’il fait avec l’axe en fonction de la variable auxiliaire
Appelant
ce rayon vecteur et
l’angle qu’il fait avec l’axe, le pôle étant au centre, si l’on prend la somme et ensuite le quotient des formules (7), on aura
![{\displaystyle r^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}.{\frac {b^{2}z^{3}-c^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)z^{2}-c^{4}(a^{2}+c^{2})z+a^{2}c^{4}}{z^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0d217c29cc9e47ba235cca18396bf080ae7833)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .t={\frac {\left(b^{2}-c^{2}\right)z+a^{2}c^{2}}{b\left(z+c^{2}\right){\sqrt {z-a^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35eac390dca01ea1f9710f58de6f95bc933e8e6)