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Or, en remarquant que ${\frac {a^{2}}{l}}-{\frac {\sqrt {a^{4}-l^{4}}}{l}}={\frac {a^{2}}{l}}\left\{1-{\sqrt {1-{\frac {l^{4}}{a^{4}}}}}\right\},$ on voit que la quantité qui précède le signe $\int$ s’évanouit aux deux limites, de sorte qu’on a simplement

$D=\int -{\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\qquad \left[{\begin{aligned}&l=a\\&l=0\end{aligned}}\right],$

On aura de même, pour le quart de la lemniscate,

$q=\int -{\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}\,;\qquad \left[{\begin{aligned}&l=a\\&l=0\end{aligned}}\right]$

en intervertissant donc l’ordre des limites, on trouvera

$D+q=\int \left\{{\frac {l^{2}}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}+{\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}\right\}\operatorname {d} l=\int \operatorname {d} l{\sqrt {\frac {a^{2}+l^{2}}{a^{2}-l^{2}}}}.\quad \left[{\begin{aligned}&l=0\\&l=a\end{aligned}}\right]$

Concevons présentement que, sur l’axe transverse de notre hyperbole, comme petit axe, on décrive une ellipse dont le grand axe soit $a{\sqrt {2}},$ en représentant par $l$ l’abscisse de la courbe répondant à l’ordonnée $y,$ son équation sera

$2l^{2}+y^{2}=2a^{2},$

d’où on tirera

$\operatorname {d} y=-{\sqrt {2}}.{\frac {l\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{2}-l^{2}}}},$

en conséquence, l’arc d’ellipse qui a pour expression $\int {\sqrt {\operatorname {d} l^{2}+\operatorname {d} y^{2}}},$ sera

$\int \operatorname {d} l{\sqrt {\frac {a^{2}+l^{2}}{a^{2}-l^{2}}}}\,;$

et, pour avoir le quart du périmètre de la courbe, il faudra prendre cette intégrale entre les limites $0$ et $a\,;$ représentant donc cette longueur par $Q',$ on aura

$Q'=\int \operatorname {d} l{\sqrt {\frac {a^{2}+l^{2}}{a^{2}-l^{2}}}}\,;\qquad \left[{\begin{aligned}&l=0\\&l=a\end{aligned}}\right]$

et par suite

$D+q=Q'.$