![{\displaystyle \operatorname {Log} .x=n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebde13f5911258cbee508c130e6c4af84144cd24)
(1)
pourvu que, dans cette expression, on fasse
[1]. Ainsi
ayant une infinité de valeurs, on peut déjà, au premier coup-d’œil, conclure de suite que
a également une infinité de valeurs. Mais il est aisé, en outre, d’en donner l’expression. Soit d’abord
positif ; on peut écrire
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x=n\left({\sqrt[{n}]{x}}.{\sqrt[{n}]{1}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5b13eeb2735c5eb4225f3cb95c085e95a5dd66)
où
représentera alors uniquement la racine
.me réelle de
; or, on sait que
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}=\operatorname {Cos} .({\frac {p\pi }{n}})+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .({\frac {p\pi }{n}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85bbdd437f110c29d727c34206bdfc2d936dfad1)
- ↑ On sait en effet que, d’une part,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+y)={\frac {y}{1}}-{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {y3}{3}}-{\frac {y^{4}}{4}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6dc599cd2e6bd3f8cb304982aa495a303b4210)
on sait d’ailleurs que
![{\displaystyle n\left({\sqrt[{n}]{1+y}}-1\right)=y-\left(1-{\frac {1}{n}}\right){\frac {y^{2}}{2}}+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{2n}}\right){\frac {y3}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f14ab22d44f152751f822d46ce3c0dbc30c0e2)
![{\displaystyle -\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-{\frac {1}{3n}}\right){\frac {y^{4}}{4}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92270ac80e8d95fcda039567b1c77fb37d804f08)
Or, dans le cas où
est infini, les seconds membres de ces deux équations deviennent égaux ; donc on a sous la même condition
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+y)=n\left({\sqrt[{n}]{1+y}}-1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf80c29bee3e1819e4710555e90c391f6fe4cba3)
équation qui devient celle du texte, en y changeant
en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
J. D. G.