Ceci n’est encore qu’une induction, et c’est sans doute déjà beaucoup ; mais on peut prouver aisément que telle est en effet la loi de la série. Posons en effet
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+Fx^{11}+\ldots ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b873760583bbff80a2f310ef3aa5c68d9071bd)
(1)
où l’on voit déjà que
doit être égal à l’unité ; en différentiant deux fois consécutivement, il viendra
![{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+11Fx^{10}+\ldots ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b361297c3bd1dff48dde67c8e710c2eb7a1715)
(2)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Tang} .x}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8235af63c97278d2ef3f4ffb73e16631769b1e1b)
(3)
Comparant ensuite le produit des équations (1) et (2) à l’équation (3), on aura
![{\displaystyle \left(A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+\ldots \right)\left(Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02939a6b6eb0b0f000629330cbb59cb66f65e211)
![{\displaystyle =1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c173e67046374aea3d038afeac339de5f645cb)
ou, en développant le premier membre et ordonnant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}A^{2}x+AB&\\+3AB&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{3}+AC&\\+3B^{2}&\\+5AC&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{5}+AD&\\+3BC&\\+5BC&\\+7AD&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{7}+AE&\\+3BD&\\+5C^{2}&\\+7BD&\\+9AE&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{9}+AF&\\+3BE&\\+5CD&\\+7CD&\\+9BE&\\11AF&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{11}+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe46c8b57cf5fe2b1249c2e93f6a45e65bb1819)
![{\displaystyle =1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c173e67046374aea3d038afeac339de5f645cb)