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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,;$

donc, en substituant

$\varphi (t)+\varphi (u)+\varphi (v)=\varphi (t+u+v)\,;$

en supposant ensuite que $v$ se change en $v+x,$ on trouvera, par de semblables considérations que

$\varphi (t)+\varphi (u)+\varphi (v)+\varphi (x)=\varphi (t+u+v+x)\,;$

et en général

$\varphi (t)+\varphi (u)+\varphi (v)+\ldots =\varphi (t+u+v+\ldots ).\qquad$(2)

Si l’on suppose ensuite toutes les lettres $t,u,v,\ldots$ égales à $t$ et au nombre de $q,$ cette équation deviendra

$q.\varphi (t)=\varphi (qt)\qquad$(3)

où $q$ est un nombre essentiellement entier et positif. On aurait semblablement

$q.\varphi (u)=\varphi (qu)$

Dans cette dernière équation, posons $qu=t\,;$ d’où $u={\frac {1}{q}}t\,;$ ce qui donnera, en substituant,

$q.\varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)=\varphi (t),$

d’où

$\varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)={\frac {1}{q}}\varphi (t)\,;$

puis, en multipliant les deux membres par $p$

$p.\varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)={\frac {p}{q}}\varphi (t).\qquad$(4)