![{\displaystyle \varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b587c435149912ecde8518a200ce24c68c17f8c4)
donc, en substituant
![{\displaystyle \varphi (t)+\varphi (u)+\varphi (v)=\varphi (t+u+v)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9c472e407e2e9844d2ca665269bbf37894505b)
en supposant ensuite que
se change en
on trouvera, par de semblables considérations que
![{\displaystyle \varphi (t)+\varphi (u)+\varphi (v)+\varphi (x)=\varphi (t+u+v+x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af431779a19398ae224bc7b442c749dee11b25fb)
et en général
![{\displaystyle \varphi (t)+\varphi (u)+\varphi (v)+\ldots =\varphi (t+u+v+\ldots ).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450095275a5113df4d467b1bb258e91c78af703f)
(2)
Si l’on suppose ensuite toutes les lettres
égales à
et au nombre de
cette équation deviendra
![{\displaystyle q.\varphi (t)=\varphi (qt)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc312aad0cdbb5329f58fcbab2160099764ef7ff)
(3)
où
est un nombre essentiellement entier et positif. On aurait semblablement
![{\displaystyle q.\varphi (u)=\varphi (qu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebafb04d9c1004517a298e9d50ae777e3bc40a3)
Dans cette dernière équation, posons
d’où
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle q.\varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)=\varphi (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a587b706eda7cacfdff7a9ecc3976e3f869bd0d4)
d’où
![{\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)={\frac {1}{q}}\varphi (t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fe3be197a5b6b10bf96bdc5049a386f0105d49)
puis, en multipliant les deux membres par ![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle p.\varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)={\frac {p}{q}}\varphi (t).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b838c17399c86ac348effa4901e008c11bd7f8)
(4)