Le sujet que je me propose de traiter ici, par la géométrie élémentaire et par les principes exposés dans mon Essai sur les contacts déjà cité, a été l’objet des recherches de plusieurs célèbres géomètres. On sait en effet que Pascal avait découvert, sous le nom d’hexagramme mystique, la belle propriété de l’hexagone inscrit à une ligne du second ordre, et avait même fait de cette propriété la base d’un traité de sections coniques qui ne nous est point parvenu. M. Brianchon, après avoir découvert la propriété correspondante de l’hexagone circonscrit, a démontré l’une et l’autre propriétés dans les Journaux de l’école polytechnique, et en a déduit des conséquences nombreuses et importantes. Il a depuis considérablement étendu cette matière dans des traités particuliers. D’autres géomètres ont démontré postérieurement ces mêmes propriétés de diverses manières. Je citerai, comme les plus remarquables par leur simplicité et leur élégance, la démonstration de M. Carnot, déduite de la théorie des transversales, et celle de M. Gergonne (Annales ; tom. IV, pag. 78), tirée de la considération des projections centrales. Je me propose d’en donner une démonstration nouvelle qui me paraît ne le céder en rien à celles que je viens de citer, et qui conduit aux diverses conséquences découvertes par MM. Carnot et Brianchon. J’en déduirai aussi la solution d’un problème qui a occupé les géomètres, depuis Pappus d’Alexandrie jusqu’à nous, et qui, aujourd’hui même, passe encore pour difficile. Je veux parler de l’inscription à un cercle d’un triangle dont les côtés passent par des points donnés, et de la circonscription au même cercle d’un triangle dont les sommets soient sur des droites données. L’histoire de ce problème est trop généralement connue pour qu’il soit nécessaire de mentionner ici les géomètres qui en ont fait le sujet de leurs recherches. Je ne parlerai que de la construction ingénieuse que M. Gergonne a déduite de la géométrie analitique (Annales, tom. VII, pag. 325), et que l’on verra, dans ce qui va suivre, déduite, d’une manière toute simple, de la géométrie la plus élémentaire.
Enfin j’ajouterai de nouveaux développemens aux propriétés de
