THÉORÈME V. Dans tout quadrilatère inscrit au cercle, les points de concours des directions des côtés opposés et les points de concours des tangentes aux sommets opposés appartiennent tous quatre à une même ligne droite.
THÉORÈME VI. Dans tout quadrilatère circonscrit au cercle, les droites qui joignent les sommets opposés et les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés concourent toutes quatre en un même point.
Il est aisé de voir que ces théorèmes s’étendent à toutes les sortes de quadrilatères qui peuvent être inscrits et circonscrits au cercle ; même aux quadrilatères inscrits dont deux côtés opposés se couperaient entre leurs extrémités et aux quadrilatères circonscrits qui n’envelopperaient pas la circonférence.
Si l’on forme tous les quadrilatères inscrits et circonscrits qu’il est possible de construire soit avec les quatre mêmes sommets, soit avec les quatre mêmes tangentes donnés ; chacun d’eux jouissant de la propriété énoncée par le Théorème V ou par le Théorème VI on en verra éclore trois systèmes de quatre points appartenant à une même ligne droite ou de quatre droites concourant en un même point.
Il est en outre facile de se convaincre que, si le quadrilatère inscrit a ses sommets aux points de contact du circonscrit, les points de concours des systèmes de quatre droites seront respectivement les pôles des droites contenant les systèmes de quatre points.
Tout triangle inscrit au cercle peut être considéré comme un hexagone inscrit dont les côtés, de deux en deux, d’une longueur nulle, sont dirigés suivant les tangentes aux trois sommets du triangle.
