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S’il existait un second paramètre variable ; c’est-à-dire si l’équation était de la forme

$\operatorname {F} (x,y,z,t,u)=0\,;$

en vertu des variations de ce nouveau paramètre, le système de surfaces résultant des variations du premier, et par suite la surface limite ou enveloppe de ces surfaces varierait de forme et de situation dans l’espace, et le système des surfaces limites pourrait lui-même avoir une limite qui serait la surface au-delà de laquelle ne pourraient jamais se trouver des points satisfaisant à l’équation proposée, de quelque manière d’ailleurs qu’on déterminât les deux paramètres. On pourrait donc dire que l’équation proposée exprime le corps terminé par cette surface.

Il est aisé de concevoir qu’ici la limite des surfaces limites sera susceptible de deux modes de génération suivant celui des deux paramètres que l’on voudra considérer comme variant le premier. Supposons, par exemple, que, pour des valeurs déterminées de $t$ et $u,$ la proposée exprime une sphère, qu’en vertu de la seule variation de $t$ le centre de cette sphère décrive un cercle, et qu’ensuite en vertu de la variation de $u$ le centre de ce cercle décrive une droite perpendiculaire à son plan ; la limite des sphères provenant de la seule variation de $t$ sera un anneau, et la limite des anneaux provenant de la variation de $u$ sera le système de deux cylindres concentriques, comprenant entre eux le corps exprimé par l’équation proposée.

l’inégalité $x^{2}+y^{2}+z^{2}<r^{2}$ exprime une sphère ; l’inégalité $x^{2}+y^{2}<Az^{2}$ exprime un cône ; l’inégalité $x^{2}+y^{2}<r^{2}$ exprime un cylindre, et l’inégalité

$\left(x-{\frac {Rx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {Ry}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)^{2}+z^{2}<r^{2}$

exprime un anneau. Nous avons déjà fait cette remarque ailleurs (Annales tom. II, page 194).

J. D. G.