Le rayon incident, la normale au point d’incidence et le rayon réfléchi feront avec l’axe des ; des angles dont les tangentes tabulaires seront respectivement
![{\displaystyle {\frac {b-u}{a-t}},\qquad {\frac {t}{u}},\qquad {\frac {y-u}{x-t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f23aad8e6c81258d92a11dc091e9f6b6ee3b4b1)
d’où il suit que les tangentes des angles d’incidence et de réflexion feront respectivement
![{\displaystyle {\frac {{\frac {b-u}{a-t}}-{\frac {u}{t}}}{1+{\frac {u}{t}}.{\frac {b-u}{a-t}}}},\qquad \qquad {\frac {{\frac {u}{t}}-{\frac {y-u}{x-t}}}{1+{\frac {u}{t}}.{\frac {y-u}{x-t}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee56d6c3792f93c32796788b84f52821f2541c4)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {t(b-u)-u(a-t)}{t(a-t)+u(b-u)}},\qquad {\frac {u(x-t)-t(y-u)}{t(x-t)+u(y-u)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483bd19b9875acbc8d49b104b71cdec6acd88343)
ou, en développant, réduisant et simplifiant, à l’aide de l’équation (1)
![{\displaystyle {\frac {bt-au}{at+bu-r^{2}}},\qquad {\frac {ux-ty}{tx+uy-r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4683e081dead6ca68c0c47837f6c4ea0a3e9d986)
or, par les lois de la catoptrique, ces deux angles doivent être égaux : égalant donc entre elles leurs expressions il viendra, en chassant les dénominateurs
![{\displaystyle (bt-au)(tx+uy-r^{2})+(ty-ux)(at+bu-r^{2})=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b0851b6c7074661a47e04c0bf216d7f2579288)
(2)
C’est donc là l’équation générale du rayon réfléchi, dans laquelle
et
sont deux paramètres variables, liés entre eux par la relation (1), et conséquemment équivalens à un seul.
La caustique cherchée étant l’enveloppe de l’espace parcouru par ce rayon, lorsqu’on fait varier
et
, conformément à la rela-