Lorsque trois lignes du second ordre, tracées sur un même plan, ont les mêmes intersections, soit réelles soit imaginaires, toute droite menée sur leur plan, parallèlement à une droite donnée de position, les coupe de telle sorte que le produit des segmens compris entre l’un des points de section de l’une des courbes, proposée, et les deux points de section de l’une des deux autres est égal au produit des segmens compris entre le même point et les deux points de section de la courbe restante.
De là nous passons aisément à la propriété suivante : étant données, sur un plan, trois lignes du second ordre, ayant les mêmes points d’intersection, si par un point A pris à volonté sur l’une d’elles on mène des parallèles à deux droites données de position, l’une coupant la courbe en deux points , et l’autre coupant la courbe en deux points ; les deus produits de segmens seront toujours entre eux dans un rapport constant. En effet, par le point pris à volonté sur la courbe soit menée une parallèle à une autre droite fixe quelconque, et soient respectivement et et les points où cette parallèle coupe et En vertu d’un principe connu, le rapport est donné et invariable, aussi bien que le rapport ; mais on a prouvé ci-dessus que le rapport doit aussi être donné et constant ; donc il doit également en être de même du rapport
Au reste la même proposition peut directement se déduire de notre analyse. En effet, soient rapportées les trois courbes à deux cas de coordonnées, parallèles aux deux droites données de position. Ces courbes étant alors représentées par les équations accompagnées des relations (a) ; si l’on transporte l’origine en un point quelconque de la courbe les deux nouveaux axes étant menés par ce point là, parallélement aux premiers, on trouvera que le produit des abscisses comprises entre cette nouvelle origine et les points d’intersection de la courbe avec le nouvel axe des , est au produit des ordonnées comprises entre la même origine et les points d’intersection de la courbe avec le
