autres, les deux produits de segmens compris sur l’une et sur l’autre de ces sécantes, entre le point commun d’où elles partent et les circonférences qu’elles coupent, sont toujours entre eux dans un rapport constant. En outre, si l’on mène une transversale arbitraire, les six points de section, soit réels soit imaginaires, qu’elle déterminera sur les trois circonférences, seront en involution.
Étant donné sur un plan un quadrilatère simple quelconque, on peut envisager ses deux couples de côtés opposés et ses deux diagonales comme trois lignes du second ordre ayant quatre points communs ; conséquemment, si l’on mène sur son plan une droite arbitraire, coupant ces mêmes côtés et diagonales en des points ; ces six points de section seront entre eux en involution. Cette propriété, qu’il serait d’ailleurs facile de démontrer directement, est une extension de celle qui concerne la division harmonique des diagonales du quadrilatère complet ; puisqu’il suffit, pour obtenir cette dernière, de supposer, dans les relations ci-dessus, que la transversale arbitraire passe par les points de concours des côtés opposés de notre quadrilatère simple. Il suit de là que, si l’on déforme ce quadrilatère, de manière que cinq des points de section dont il s’agit demeurent fixes, sur la même droite, le sixième ne variera pas. Ainsi, tout quadrilatère simple dont les côtés et l’une des diagonales passeront respectivement, et dans un ordre assigné, par cinq points pris à volonté sur une même droite, aura son autre diagonale toujours dirigée vers un autre point fixe de la même droite, et liée aux premiers par l’ensemble des relations (f). Donc, cinq points étant donnés, sur une même droite, il sera toujours facile, avec la règle pour tout instrument, d’en trouver un sixième qui soit en involution avec eux ; et l’on voit en outre que ce sixième point sera unique.
