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$\left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{2}=4a^{2}\left\{y^{2}+(x-a)^{2}\right\}.$

En changeant, dans cette équation, a en ${\frac {r}{3}},$ elle devient précisément celle de notre caustique.

Ainsi, pour un point lumineux situé à la circonférence d’un cercle réfléchissant, la caustique est l’épicycloïde engendrée par un des points de la circonférence d’un cercle mobilé d’un rayon trois fois moindre que celui du cercle réflecteur, roulant sur un cercle fixe, concentrique à ce cercle réflecteur, et ayant également un rayon trois fois moindre que le sien. Le point de rebroussement est celui de la circonférence du cercle base qui coïncide avec le point décrivant^[1].

II. Occupons-nous maintenant de la recherche de la caustique par réflexion relative au cercle, dans le cas des rayons de lumières parallèles.

Soient toujours $r$ le rayon du cercle réfléchissant $(x,y)$ un quelconque des points de la caustique $(x',y')$ le point incident qui lui correspond. Afin de simplifier nos calculs, nous prendrons le centre du cercle pour origine des coordonnées rectangulaires, et nous supposerons l’axe des $x$ parallèle à la direction commune des ravons incidens. Kous aurons d’abord

$x'^{2}+y'^{2}=r^{2}.\qquad$(1)

Soit $p$ la tangente tabulaire de l’angle que fait le rayon réflé-

1. Enfin, pour ne rien laisser à dire sur ce sujet, il faut encore ajouter que, pour un point rayonnant situé à la circonférence d’un cercle réfléchissant, la caustique est l’enveloppe de l’espace parcouru par un cercle mobile et variable de rayon qui, ayant constamment son centre sur la circonférence d’un cercle concentrique au cercle réflecteur, passe constamment par un point fixe de cette circonférence. Ce point fixe est alors le point de rebroussement de la caustique.
   J. D. G.