Les propositions inverses des deux précédentes s’en déduisent si facilement qu’il nous suffira de les énoncer, 1.o lorsque cinq des sommets d’un hexagone appartiennent à une ligne du second ordre, et que d’ailleurs les points de concours des côtés opposés de cet hexagone appartiennent tous trois à une même droite, son sixième sommet est aussi sur la courbe ; 2.o lorsque cinq des côtés d’un hexagone sont tangens à une ligne du second ordre, et que d’ailleurs les diagonales qui joignent les sommets opposés de cet hexagone se coupent au même point, son sixième côté est aussi tangent à la courbe.
Il suit de là qu’il n’existe qu’une seule conique qui puisse passer par cinq points ou toucher cinq droites données sur un plan. Les mêmes propriétés fournissent le moyen, bien connu, de construire, avec la règle seulement, une conique dont on a cinq points ou cinq tangentes. Elles s’étendent au cas où l’on suppose qu’un côté, ou plusieurs côtés non consécutifs, de l’hexagone inscrit deviennent nuls et tangens à la courbe, et à celui où un angle, ou plusieurs angles non consécutifs, de l’hexagone circonscrit deviennent égaux à deux angles droits et ont leur sommet sur la courbe. On retrouve ainsi les propriétés des quadrilatères inscrits et circonscrits démontrés précédemment (§. V).
En particulier, si l’on suppose que, dans l’hexagone inscrit, trois côtés non consécutifs soient d’une longueur nulle, ou que, dans l’hexagone circonscrit, trois angles non consécutifs soient égaux à deux angles droits, on obtient ce théorème : Si deux triangles sont l’un inscrit et l’autre circonscrit à une même ligne du second ordre de telle sorte que les sommets de l’inscrit soient les points de contact du circonscrit ; 1. ° les points de concours des côtés respectivement opposés, dans ces deux triangles appartiendront tous trois à une même droite ; 2. ° les droites qui joindront leurs sommets opposés concourront toutes trois en un même point.
Il y aurait beaucoup d’autres choses à dire sur le sujet qui nous
