Pour exprimer que la développée est l’enveloppe de l’espace parcouru par la normale, il faudra éliminer
entre les dérivées des équations (1) et (10) prises par rapport à
et
seulement, ce qui donnera
![{\displaystyle 8x'y'X-4(x'^{2}-y'^{2})=r^{2}y'.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d59c2bda2833144d78052971e66f0fc66efbf2)
(11)
L’équation de la courbe cherchée sera le résultat de l’élimination de
et
. entre les équations (1), (10), (11).
En résolvant les deux dernières par rapport à
et
et faisant usage de l’équation (1), il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}2r^{2}X&=x'^{3},\\4r^{2}Y&=y'\left(r^{2}+2x'^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2dcc7a1292a3456153c987bfe9aa4bd5d62b258)
En ajoutant au quarré de la seconde le quadruple du quarré de la première et en faisant toujours usage de l’équation (1), il viendra
![{\displaystyle 16r^{4}\left(X^{2}+Y^{2}\right)=4x'^{6}+y'^{2}\left(r^{2}+2x'^{2}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cee2596284066a9e0ffc6f7579d1847596e05c)
![{\displaystyle =4x'^{4}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+4r^{2}x'^{2}y'^{2}+r^{4}y'^{2}=r^{4}(r^{2}+3x'^{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16be7f2fab683441140792c776d108d9c654887f)
ou bien
![{\displaystyle 16\left(X^{2}+Y^{2}\right)-r^{2}=3x'^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a3b9bc7fd9bbbd72ddf5007b706497296d828d)
d’où en cubant
![{\displaystyle \left\{16\left(X^{2}+Y^{2}\right)-r^{2}\right\}^{3}=27\left(x'^{2}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f987242c2c6d64903c158adac358db9a8af615ff)
ou encore en mettant pour
sa valeur
trouvée ci-dessus et posant pour abréger, ![{\displaystyle r=2R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a231d47c18c2560a5c45009b736953d4bc993b5d)
![{\displaystyle \left\{4\left(X^{2}+Y^{2}\right)-R^{2}\right\}^{3}=27R^{4}X^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61647d1fdc638f34373d198ce4ada64730a7a3b6)
(12)
Équation qui n’est autre que l’équation (7), dans laquelle on aurait changé
en
en
et
en ![{\displaystyle R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcae6b33a27f86c7961318cd7ee3d789d3bcdd2)