Ainsi, la développée de la caustique par réflexion relative au cercle, dans le cas des rayons incidens parallèles, est une courbe exactement semblable à cette caustique, mais relative à un cercle réfléchissant concentrique au premier et d’un rayon moitié moindre, laquelle est située perpendiculairement à cette caustique ; c’est-à-dire, de telle sorte que la droite qui joint ses deux points d’inflexion est perpendiculaire à la direction commune des rayons incidens, ou que ses deux sommets coïncident avec les points de rebroussement de la première.
Il résulte de là que la caustique par réflexion relative au cercle, dans le cas des rayons incidens parallèles, est la développée d’une courbe toute semblable, mais relative à un cercle concentrique à celui-là et d’un rayon double du sien, laquelle a une situation perpendiculaire à la sienne ; c’est-à-dire, telle que la droite qui joint ses deux points de rebroussement est perpendiculaire à la direction commune des rayons incidens, ou encore telle que ses points de rebroussement coïncident avec les deux sommets de la caustique.
Proposons-nous de trouver l’équation de l’épicycloïde engendrée par l’un des points de la circonférence d’un cercle d’un rayon , roulant sur un autre cercle d’un rayon
Prenons le centre du cercle fixe pour origine des coordonnées rectangulaires. Supposons qu’à l’origine du mouvement le point de contact des deux cercles soit sur l’axe des , du côté des positifs, que ce point est le point décrivant, et que le cercle mobile toucne en s’élèvant dans la région des positives.
Soient, pour un instant quelconque, le point décrivant et le centre du cercle mobile ; nous aurons d’abord
