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(5), et de nature à pouvoir en être déduites par une détermination convenable des constantes $\lambda$ et $\lambda '.$

Soit $m=p+q=t+u,\ p,\ q,\ t,\ u$ étant des nombres entiers positifs, et supposons que la nature et la situation respective des trois proposées soient telles que, parmi leurs m^3 ou $m(p+q)(t+u)$ points d’intersection il s’en trouve $mpt$ qui soient situés sur les lignes d’intersection de deux surfaces des p^ième et t^ième ordre ; ces points pourront ainsi être obtenus par la combinaison de l’une quelconque des équations (1), (2), (3) avec deux équations rationnelles, des p^ième et t^ième degrés ; puis donc que tous les points d’intersection de ces trois surfaces sont obtenus par la combinaison de la même équation avec les équations (4) et (5) ; il s’ensuit que les premiers membres de ces dernières doivent, pour des valeurs convenables de $\lambda$ et $\lambda ',$ acquérir respectivement des facteurs rationnels $P$ et $T,$ des p^ième et t^ième degrés ; ces premiers membres devront donc avoir, dans ce cas, d’autres facteurs rationnels $Q$ et $U$ des q^ième et u^ième degrés respectivement ; c’est-à-dire que ces équations reviendront à

$PQ=0,\qquad TU=0,$

ce qui donne ces quatre combinaisons

$\left\{{\begin{aligned}&P=0,\\&T=0\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&P=0,\\&U=0\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&Q=0,\\&T=0\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&Q=0,\\&U=0\,;\end{aligned}}\right.$

à chacune desquelles joignant une quelconque des trois équations proposées, on obtiendra la totalité des points d’intersection de nos trois surfaces, lesquels se trouveront ainsi au nombre de $mpt$ sur les lignes d’intersection de deux surfaces des p^ième et q^ième ordre, au nombre de $mqu$ sur les lignes d’intersection de deux autres surfaces des q^ième et u^ième ordre, au nombre de $mpu$ sur les lignes d’intersection des deux surfaces des p^ième et u^ième ordre, et enfin au nom-