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La droite qui joint le centre du cercle mobile fera avec le point décrivant avec l’axe des $x$, un angle qui aura pour tangente tabulaire ${\frac {y''-y}{x''-x}}.$ Cet angle sera l’angle extérieur d’un triangle dans lequel le côté opposé sera la droite qui joint les centres des deux cercles ; et les deux angles adjacens à ce côté devront, par la nature du problème, être double l’un de l’autre ; d’où il suit que l’angle extérieur dont il s’agit devra être triple du plus petit des angles intérieurs opposés. Or, la tangente tabulaire de ce dernier étant ${\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} x''}}$, la tangente tabulaire de son triple devra être ${\frac {y''\left(3x''^{2}-y''^{2}\right)}{x''\left(x''^{2}-3y''^{2}\right)}},$ la troisième équation du problème sera donc

${\frac {y''-y}{x''-x}}={\frac {y''\left(3x''^{2}-y''^{2}\right)}{x''\left(x''^{2}-3y''^{2}\right)}}.\qquad$(15)

L’équation de l’épicycloïde demandée sera donc le résultat de l’élimination de $x''$ et $y''$ entre les équations (13), (14), (15).

On tire des deux dernières

${\begin{aligned}x''-x&={\frac {cx''\left(x''^{2}-3y''^{2}\right)}{\sqrt {y''^{2}\left(3x''^{2}-y''^{2}\right)^{2}+x''^{2}\left(x''^{2}-3y''^{2}\right)^{2}}}}.\\\\y''-y&={\frac {cx''\left(3x''^{2}-y''^{2}\right)}{\sqrt {y''^{2}\left(3x''^{2}-y''^{2}\right)^{2}+x''^{2}\left(x''^{2}-3y''^{2}\right)^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

mais, au moyen de l’équation (13), le dénominateur commun de ces valeurs se réduit à $27c^{3},$ de manière qu’on a simplement

${\begin{aligned}27c^{2}(x''-x)=x''\left(x''^{2}-3y''^{2}\right),\\27c^{2}(y''-y)=y''\left(3x''^{2}-y''^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

ou, en faisant encore usage de l’équation (13)