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${\begin{array}{rlr}9c^{2}(3x-2x'')&=4x''y''^{2},&(16)\\27c^{2}y&=4y''^{3}.&(17)\end{array}}$

En divisant la seconde par la première, il vient

${\frac {3y}{3x-2x''}}={\frac {y''}{x''}},\quad$ou$\quad {\frac {y}{x-{\frac {2}{3}}x''}}={\frac {y''}{x''}}\,;$

ce qui nous apprend que la droite menée par un quelconque $(x,y)$ des points de l’épicycloïde, parallèlement à celle qui joint les centres des deux cercles rencontre l’axe des $x$ à une distance de l’origine égale aux deux tiers de l’abscisse du centre du cercle mobile, ou égale à l’abscisse de son point de contact avec le cercle fixe.

En mettant l’équation (16) sous cette forme

$27c^{2}x=2x''\left(9c^{2}+2y''^{2}\right),$

et ajoutant ensuite son quarré à celui de l’équatK>n (17), il viendra, en faisant usage de l’équation (13),

$3\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)=4y''^{2}\,;$

d’où, en élevant les deux membres au cube,

$27\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)^{3}=64y''^{6}=4.\left(4y''^{3}\right)^{2}.$

mettant dans cette dernière pour $4y''^{3},$ sa valeur donnée par l’équation (17) il viendra finalement

$\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)^{3}=108c^{4}y^{2}\,:$

équation qui coïncide exactement avec l’équation (7) de la caustique, si l’on y change $c$ en ${\frac {r}{4}}.$