![{\displaystyle {\begin{array}{rlr}9c^{2}(3x-2x'')&=4x''y''^{2},&(16)\\27c^{2}y&=4y''^{3}.&(17)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aca058b2786bccd09526200736850c66ab9910)
En divisant la seconde par la première, il vient
![{\displaystyle {\frac {3y}{3x-2x''}}={\frac {y''}{x''}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6169951284e2ffbe45b96ccd278a8b8be561ee1)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {y}{x-{\frac {2}{3}}x''}}={\frac {y''}{x''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fb3846e0fb67b83209c7a925dd6a086495e8e0)
ce qui nous apprend que la droite menée par un quelconque
des points de l’épicycloïde, parallèlement à celle qui joint les centres des deux cercles rencontre l’axe des
à une distance de l’origine égale aux deux tiers de l’abscisse du centre du cercle mobile, ou égale à l’abscisse de son point de contact avec le cercle fixe.
En mettant l’équation (16) sous cette forme
![{\displaystyle 27c^{2}x=2x''\left(9c^{2}+2y''^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1549a7db4665ca5e5a00dde533c1dbd7fb4a86b5)
et ajoutant ensuite son quarré à celui de l’équatK>n (17), il viendra, en faisant usage de l’équation (13),
![{\displaystyle 3\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)=4y''^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7825b49d3d306de2ceb170d046a4c12c4b79e0bb)
d’où, en élevant les deux membres au cube,
![{\displaystyle 27\left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)^{3}=64y''^{6}=4.\left(4y''^{3}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64e4ed821f34ec0831453b8501a7ad971437edd)
mettant dans cette dernière pour
sa valeur donnée par l’équation (17) il viendra finalement
![{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-4c^{2}\right)^{3}=108c^{4}y^{2}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae0dded1d0e2d8bb4bdfe5dbc60bae5cc19b978)
équation qui coïncide exactement avec l’équation (7) de la caustique, si l’on y change
en