Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/30

dans laquelle il faudra déterminer $p$ de telle sorte que l’angle de réflexion soit égal à l’angle d’incidence.

Or, la tangente de l’angle d’incidence est

${\frac {{\frac {y'}{x'-a}}-{\frac {y'}{x'}}}{1+{\frac {y'^{2}}{x'(x'-a)}}}},\quad$ou$\quad {\frac {ay'}{x'^{2}+y'^{2}-ax'}},\quad$ou enfin$\quad {\frac {ay'}{r^{2}-ax'}}\,;$

et celle de l’angle de réflexion est

${\frac {{\frac {y'}{x'}}-p}{1+p{\frac {y'}{x'}}}},\quad$ou$\quad {\frac {y'-px'}{x'+py'}}\,;$

on doit donc avoir

${\frac {ay'}{r^{2}-ax'}}={\frac {y'-px'}{x'+py'}}\,;$

d’où

$p={\frac {y'\left(r^{2}-2ax'\right)}{a\left(y'^{2}-x'^{2}\right)+r^{2}x'}}={\frac {y'\left(r^{2}-2ax'\right)}{x'\left(r^{2}-2ax'\right)+ar^{2}}}.$

L’équation du rayon réfléchi sera donc

$y-y'={\frac {y'\left(r^{2}-2ax'\right)}{x'\left(r^{2}-2ax'\right)+ar^{2}}}(x-x'),$

ou bien, en chassant le dénominateur, développant et réduisant,

$\left[x'\left(r^{2}-2ax'\right)+ar^{2}\right]y-y'\left(r^{2}-2ax'\right)x=ar^{2}y'.\qquad$(2)

Les dérivées de (1) et (2) sont

${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=-{\frac {y'}{x'}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}={\frac {\left(r^{2}-4ax'\right)y+2ay'x}{\left(r^{2}-2ax'\right)x+ar^{2}}}\,;$

on exprimera donc que la caustique est l’enveloppe de l’espace parcouru par le rayon réfléchi, en écrivant