Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/31

$-{\frac {x}{y}}={\frac {\left(r^{2}-4ax'\right)y+2ay'x}{\left(r^{2}-2ax'\right)x+ar^{2}}}\,;$

ou bien, en chassant les dénominateurs et ayant égard à l’équation (1),

$\left\{x'\left(r^{2}-4ax'\right)+2ar^{2}\right\}x+\left(r^{2}-4ax'\right)y'y+ar^{2}x'=0.\qquad$(3)

L’équation de la caustique cherchée sera donc le résultat de l’élimination de $x'$ et $y',$ entre les équations (1), (2), (3).

S’il ne s’agissait que d’obtenir les points de cette caustique qui correspondent aux divers points d’incidence, sans qu’il fût nécessaire de parvenir à l’équation de la courbe, on remarquerait que $x'$ et $y'$ étant dès lors donnés et les équations (2) et (3) n’étant que du premier degré seulement en $x$ et $y$, ces équations sont conséquemment celles de deux droites qui, par leur intersection, doivent donaer un des points de la caustique.

L’équation (2) est celle d’une tangente à la caustique, et par suite celle du rayon réfléchi qui répond au point d’incidence $(x',y').$ On peut donc considérer comme déjà construite la droite exprimée par cette équation.

Pour construire la droite exprimée par l’équation (3) on pourrait tout simplement déterminer ses intersections avec les axes des coordonnées, et on serait même d’autant mieux fondé à en agir ainsi, qu’ici ces axes ne sont point des lignes tout-à-fait étrangères au problème qui nous occupe ; mais il sera peut-être préférable de faire usage d’une méthode employée d’une manière si heureuse par M. Gergonne, en plusieurs endroits de son recueil.

L’équation (3) peut être écrite ainsi

${\frac {x'x+y'y}{r^{2}}}={\frac {a(2x-x')}{r^{2}-4ax'}}\,;\qquad$(4)

d’où il suit qu’on aura deux points de la droite qu’elle exprime en construisant les deux systèmes de deux droites