tous ces cercles ont pour axe radical commun la droite qui joint les centres de et
Donc tout cercle qui coupera orthogonalement et aura son centre en ligne droite avec ceux de et et devra conséquemment couper orthogonalement tous les cercles de la série ces cercles pourront donc être tous coupés orthogonalement par une série de cercles ayant tous leurs centres sur leur axe radical commun ; et comme ces derniers seront tous, à l’inverse, coupés orthogonalement par les cercles de la série ils auront pour axe radical commun la droite sur laquelle les centres de ces derniers se trouvent situés.
44. Il demeure donc établi par là qu’on peut toujours construire deux séries de cercles ayant leurs centres distribués sur deux droites perpendiculaires entre elles, dont chacune est l’axe radical commun de ceux qui ont leurs centres sur l’autre ; et il est clair qu’alors chacun des cercles de chaque série sera coupé orthogonalement par tous les cercles de l’autre série. On voit en outre qu’on pourra toujours se donner à volonté deux des cercles de l’une des séries.
45. Si deux des cercles de l’une des deux séries se coupent, tous les cercles de cette série devront passer par les points d’intersection de ces deux-là et avoir ainsi une corde commune unique, puisqu’autrement (27, 28, 29) ils ne pourraient avoir un axe radical commun ; mais il est aisé de voir qu’alors les cercles de l’autre série ne se couperont pas. Les tangentes menées à tous les cercles de l’une quelconque des deux séries par le centre de l’un quelconque des cercles de l’autre série seront d’égale longueur ; et les points de la corde commune à tous les cercles de la première série seront les centres d’autant de cercles ayant pour diamètres les plus petites cordes qu’on puisse mener par ces différens points aux cercles de la seconde série.
On peut citer comme un des exemples les plus familiers de ces deux séries de cercles, les méridiens et les parallèles, dans la projection stéréographique dite de Ptolémée ou de Mercator.
