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verse par $d$ et $i,$ leurs polaires de similitude directe par $\mathrm {P'} _{d}$ et $\mathrm {P''} _{d}$ et leurs polaires de similitude inverse par $\mathrm {P'} _{i}$ et $\mathrm {P''} _{i}$.

Et lorsqu’enfin les deux cercles seront désignés par $\mathrm {C''}$ et $\mathrm {C,}$ nous désignerons respectivement leurs centres de similitude directe et inverse par $d'$ et $i',$ leurs polaires de similitude directe par $\mathrm {P''} _{d'}$ et $\mathrm {P} _{d'}$ et leurs polaires de similitude inverse par $\mathrm {P''} _{i'}$ et $\mathrm {P} _{i'}$.

58. Soient présentement $\mathrm {C,C',C''}$ trois cercles tracés sur un même plan ; on sait (15) qu’ils ont pris tour-à-tour deux à deux, six centres de similitude, trois $d,d',d''$ de similitude directe et trois $i,i',i''$ de similitude inverse. On sait de plus que les trois points $d,d',d''$ appartiennent à une même droite $\mathrm {D} ,$ que les trois points $d,i',i''$ appartiennent à une même droite $\mathrm {I,}$ les trois points $d',i'',i$ à une même droite $\mathrm {I'}$ et enfin les trois points $d'',i,i'$ à une même droite $\mathrm {I''.}$

Désignons respectivement par $p_{d},p'_{d},p''_{d},$ les pôles de $\mathrm {D}$ par rapport à $\mathrm {C,C',C''} ,$ par $p_{i},p'_{i},p''_{i},$ par $p_{i'},p'_{i'},p''_{i'},$ par $p_{i''},p'_{i''},p''_{i''},$ les pôles respectifs, par rapport aux mêmes cercles, de $\mathrm {I,I',I''} .$

Il y aura ainsi (53) quatre pôles relatifs à chaque cercle, savoir :

pour C $\left\{{\begin{aligned}&p_{d},\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P} _{d'},\mathrm {P} _{d''},\\&p_{i},\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P} _{i'},\mathrm {P} _{i''},\\&p_{i}',\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P} _{d'},\mathrm {P} _{i''},\\&p_{i}'',\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P} _{i'},\mathrm {P} _{d''}\,;\end{aligned}}\right.$

pour C’$\left\{{\begin{aligned}&p'_{d},\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P'} _{d''},\mathrm {P'} _{d},\\&p'_{i'},\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P'} _{i''},\mathrm {P'} _{i},\\&p'_{i''},\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P'} _{d''},\mathrm {P'} _{i},\\&p'_{i},\ \mathrm {intersection\ des\ polaires\ P'} _{i''},\mathrm {P'} _{d}\,;\end{aligned}}\right.$