que, menées par ces trois points seront des lignes homologues des trois mêmes cercles, puisque passant par des points homologues, elles feront des angles égaux avec la ligne homologue commune Il en sera donc ainsi, en particulier, à l’égard des perpendiculaires conduites par ces trois points à la droite qui joint les centres de et . Désignons respectivement ces perpendiculaires par
D’abord (51) le point étant le point de concours des tangentes menées à par et il s’ensuit (40) que ce point est un point de l’axe radical de et et qu’ainsi la droite n’est autre chose que cet axe radical lui-même, que nous avons désigné ci-dessus par
Ensuite le point étant, par rapport à le pôle de qui passe par ; il s’ensuit que la polaire de ce dernier point, relativement au même cercle, devra (54) passer par et comme elle doit d’ailleurs être perpendiculaire à la droite qui joint les centres de et il s’ensuit qu’elle ne sera autre chose que la droite elle-même. On prouvera, par un semblable raisonnement, que est également la polaire du point par rapport au cercle De sorte que et sont les polaires de similitude directe de et désignés ci-dessus par
Supposons, en second lieu, que le cercle touche les cercles et d’une manière différente, c’est-à-dire, qu’il touche l’un d’eux extérieurement, tandis qu’il enveloppe l’autre ou en est enveloppé ; alors (18) les points de contact et seront en ligne droite avec le centre de similitude inverse des deux cercles et ; Soient encore les pôles respectifs de cette droite par rapport à ces trois cercles, et soient menées par ces trois pôles les perpendiculaires à la droite qui joint leurs centres. On prouvera, comme ci-dessus, que est encore l’axe radical des deux cercles et ; mais ici et deviendront les polaires de similitude inverse et des deux mêmes cercles. On a donc ce théorème du à M. Durrande :
