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${\frac {U-u'}{1-\alpha }}={\frac {\operatorname {f} (x+g,y+h,z+k,\ldots )-\operatorname {f} (x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )}{1-\alpha }},$

qui se présente sous la forme ${\frac {0}{0}}$ quand $\alpha =1,$ on verra aisément que cette quantité ne peut, en général, devenir nulle ni infinie pour cette valeur de $\alpha$ ; car, d’après le théorème sur le rapport des accroissemens d’une variable indépendante et d’une de ses fonctions, on a

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {f} (x+g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )-\operatorname {f} (x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )}{1-\alpha }}\\\\&\qquad =g\left[\operatorname {f} '_{x}(x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )+\eta _{1}\right],\\&{\frac {\operatorname {f} (x+g,y+h,z+\alpha k,\ldots )-\operatorname {f} (x+g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )}{1-\alpha }}\\\\&\qquad =h\left[\operatorname {f} '_{y}(x+g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )+\eta _{2}\right],\\&{\frac {\operatorname {f} (x+g,y+h,z+k,\ldots )-\operatorname {f} (x+g,y+h,z+\alpha k,\ldots )}{1-\alpha }}\\\\&\qquad =k\left[\operatorname {f} '_{z}(x+g,y+h,z+\alpha k,\ldots )+\eta _{3}\right],\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et par conséquent, en ajoutant et réduisant,

${\frac {\operatorname {f} (x+g,y+h,z+k,\ldots )-\operatorname {f} (x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )}{1-\alpha }}$

$=\left\{{\begin{aligned}&g\operatorname {f} '_{x}(x+\alpha g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )\\+&h\operatorname {f} '_{y}(x+g,y+\alpha h,z+\alpha k,\ldots )\\+&k\operatorname {f} '_{z}(x+g,y+h,z+\alpha k,\ldots )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}+g\eta _{1}+h\eta _{2}+k\eta _{3}+\ldots$