perpendiculaire à cet axe comme plan des
Soit
un des points de la courbe et soit
l’angle générateur du cône, on aura d’abord
![{\displaystyle t^{2}+u^{2}=v^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0a6078e60fcb3a72c0e578829f656e3a1e4ef8)
Si
est le rayon vecteur de la projection du point
sur le plan des
et que
soit l’angle de ce rayon vecteur avec l’axe des
, on aura en outre
![{\displaystyle \theta =\operatorname {f} (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5b5b4f0472ab25db11af2058c569295f258edf)
la fonction
dépendant de la nature arbitraire de la courbe tracée sur le cône. Or, on a
![{\displaystyle \theta =\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {u}{t}}\right)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfd7e830dcbadfa14be996583f10ea7131da52b)
et
![{\displaystyle \quad r={\sqrt {t^{2}+u^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538aa8978c3a79c457f026cb149b67e71ffc56ca)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {u}{t}}\right)=\operatorname {f} \left({\sqrt {t^{2}+u^{2}}}\right)=\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88048d0b6d75400b5bf56ec1e1898c41e3a6446a)
(2)
et les équations (1) et (2) seront celles d’une courbe quelconque, tracées sur la surface conique. On en tirera très-facilement
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}t&=v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right],\\u&=v\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78c713237d160653d9d6ac9b96d03ba8291b9fb)
(3)
d’où
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} v}}&=\left\{\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]-v\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha ,\\\\{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} v}}&=\left\{\operatorname {Sin} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]+v\operatorname {f} '(v\operatorname {Tang} .\alpha ).\operatorname {Cos} .\left[\operatorname {f} (v\operatorname {Tang} .\alpha )\right]\right\}\operatorname {Tang} .\alpha .\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461aedf6722d54db9f8209a3ddc171d52123e6b3)
(4)
Présentement
étant un quelconque des points de la tangente à la courbe conique au point
on aura