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$(1)\qquad {\frac {1}{f(x)}}=0,$

on désigne par $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ celles de ces racines dans lesquelles le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ est positif, et par $\operatorname {f} _{1},\operatorname {f} _{2},\operatorname {f} _{3},\ldots$ les valeurs que reçoivent les produits

$\varepsilon f(x_{1}+\varepsilon ),\quad \varepsilon f(x_{2}+\varepsilon ),\quad \varepsilon f(x_{3}+\varepsilon ),\ldots ,$

lorsque $\varepsilon$ se réduit à zéro ; alors, en posant

(2)$\qquad \Delta =2\varpi (\operatorname {f} _{1}+\operatorname {f} _{2}+\operatorname {f} _{3}+\ldots ){\sqrt {-1}},$

on a

(3)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\operatorname {d} x=\Delta .$

C’est cette formule qu’il s’agit présentement d’appliquer.

Rappelons auparavant que, si l’équation (1) avait plusieurs racines égales à $x_{1}$ ; en désignant par $m$ le nombre de ces racines, et par $\varepsilon$ un nombre infiniment petit, il faudrait supposer, dans la formule (2), non plus $\operatorname {f} _{1}=\varepsilon f(x_{1}+\varepsilon ),$ mais

$\operatorname {f} _{1}={\frac {1}{1.2.3\ldots (m-1)}}.{\frac {\operatorname {d} ^{m-1}.\left[\varepsilon ^{m}f(x_{1}+\varepsilon )\right]}{\operatorname {d} \varepsilon ^{m-1}}}.$

Enfin, si, dans la racine $x_{1},$ le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ se réduisait à la limite des quantités positives décroissantes, c’est-à-dire, à zéro ; ou, en d’autres termes, si la racine $x_{1}$ devenait réelle le terme $\operatorname {f} _{1}$, correspondant à cette racine, devrait être réduit à moitié.

Passons maintenant à l’application de ces formules.

La formule (3) peut être, si l’on veut, remplacée par la suivante