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(4)$\qquad \int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}\Delta \,;$

et l’on voit que les formules (3) et (4) réduisent la détermination des intégrales qu’elles renferment à la recherche des racines de l’équation (1) dans lesquelles le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ est positif.

Supposons, pour fixer les idées, qu’on ait

(5)$\qquad f(x)=\varphi (u).\chi (v).\psi (w)\ldots \operatorname {f} (x),$

$\varphi (u),\chi (v),\psi (w),\ldots$ désignant des fonctions rationnelles des variables $u,v,w,\ldots ,$ et $u,v,w,\ldots \operatorname {f} (x)$ représentant des fonctions de $x$ qui restent complètement déterminées, dans le cas même où, après avoir remplacé $x$ par $x+y{\sqrt {-1}}$, on attribue à $x$ une valeur réelle quelconque, et à $y$ une valeur réelle positive. Concevons d’ailleurs que la fonction $\operatorname {f} (x)$ ne devienne jamais infinie pour aucune valeur finie, réelle ou imaginaire, de la variable $x$. Pour obtenir les racines de l’équation (1), il faudra d’abord chercher celles des équations

(6)$\qquad {\frac {1}{\varphi (u)}}=0,\quad {\frac {1}{\chi (v)}}=0,\quad {\frac {1}{\psi (w)}}=0,\ldots \,;$

et comme, par hypothèse, les fonctions $\varphi (u),\chi (v),\psi (w),\ldots$ sont rationnelles, il est clair que les premiers membres des équations (6) pourront être remplacés par des fonctions entières de $u,v,w,\ldots$.

Supposons ces mêmes équations résolues, et soit $h+k{\sqrt {-1}}$ une de leurs racines ; on n’aura plus à résoudre que des équations de la forme

(7)$\qquad u=h+k{\sqrt {-1}},\qquad v=h+k{\sqrt {-1}},\ldots \,;$

chacune d’elles fournira une seule racine, dont il sera facile de