Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/102

$\mathrm {NR} ={\frac {1}{2}}\varpi ^{2}a.{\frac {t^{2}}{T^{2}}}.\left({\frac {lm}{st}}\right)^{2}\,;$

mais à cause des triangles rectangles semblables $stm$ et $mlh$

$lm:st::mh:sm::\mathrm {MH:SM} ,$

de sorte que, dans l’expression de $\mathrm {NR,}$ on peut remplacer ${\frac {lm}{st}}$ par $\mathrm {\frac {MH}{SM}}$ ou par ${\frac {2a}{\mathrm {SM} }},$ au moyen de quoi elle deviendra

$\mathrm {NR} =2\varpi ^{2}a^{3}.{\frac {t^{2}}{T^{2}}}.{\frac {1}{{\overline {\mathrm {SM} }}^{2}}}\,;$

or, en nommant $\varphi$ la force centrale, on a

$\mathrm {NR} ={\frac {\varphi t^{2}}{2}},\quad$d’où$\quad \varphi ={\frac {2\mathrm {NR} }{t^{2}}}\,;$

donc

$\varphi ={\frac {4\varpi ^{2}a^{3}}{T^{2}}}.{\frac {1}{{\overline {\mathrm {SM} }}^{2}}}\,;$

la force $\varphi$ est donc en raison inverse du quarré de la distance, dans une même ellipse, où $a^{3}$ et $T^{2}$ sont deux constantes.

À la distance $1,$ la force accélératrice est simplement

$\Phi =4\varpi {\frac {a^{3}}{T^{2}}}\,;$

qui sera la même pour deux planètes différentes, si l’on a

${\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {a'^{3}}{T'^{2}}}\,;$

c’est-à-dire, qu’elle est la même pour toutes les planètes, en vertu de la troisième loi de Képler.