angle constant, on veut que la développée oblique se réduise à un point, il faudra que la courbe proposée soit une spirale logatithmique. Si cette courbe proposée se réduit à une droite, et que les angles croissent comme les distances des normales à un point fixe de cette droite, la développée oblique sera la développée orthogonale d’une cycloïde, et conséquemment une autre cycloïde, et ainsi du reste. La théorie générale des développées obliques, qui paraît n’avoir pas encore fixé l’attention des géomètres, et sur laquelle nous pourrons revenir dans une autre occasion, conduit, avec une merveilleuse simplicité, à une multitude de résultats curieux qu’on ne déduirait souvent que d’une manière très-pénible des procédés ordinaires d’investigation. Nous nous bornerons, pour le présent, à établir les principales formules qui lient les développées obliques aux développées orthogonales et à en faire une application spéciale à l’optique.
Soient et (fig. 2) deux des points d’un arc de courbe donné, et les deux points correspondans de sa développée orthogonale, centres de courbure respectifs de la courbe en et et les centres de courbure correspondans de l’une de ses développées obliques, et l’intersection de et de Du point comme centre, et avec sa distance au point pour rayon, soit décrit un arc de cercle, se terminant en sur la direction de
Désignons par l’arc de la courbe compté de vers par l’arc de la courbe compté de vers par le rayon de courbure orthogonal par le rayon de courbure oblique par l’angle que forment entre eux ces deux rayons, par le quadrilatère mixtiligne et par le quadrilatère mixtiligne
Si nous supposons le point infiniment voisin du point les points et seront aussi infiniment voisins des points et , les arcs et pourront être considérés comme les prolonge-
