Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/106

${\frac {\operatorname {d} S}{R+\operatorname {d} R}}=\operatorname {d} \theta +{\frac {\operatorname {d} S.Cos.\theta }{r+\operatorname {d} s}}\,;$

ou bien encore

$(r+\operatorname {d} s)\operatorname {d} S=(R+\operatorname {d} R)(r+\operatorname {d} s)\operatorname {d} \theta +(R+\operatorname {d} R)\operatorname {d} S\operatorname {Cos} .\theta \,;$

ou, en développant, supprimant les termes de plus d’une dimension en différentielles et divisant par $\operatorname {d} S$

${\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} S}}={\frac {1}{R}}-{\frac {\operatorname {Cos} .\theta }{r}}.\qquad$(2)

On a enfin

$\operatorname {Sec} t.\mathrm {MC'M'} ={\frac {1}{2}}\mathrm {MM'.C'M} ,\qquad \operatorname {Sec} t.\mathrm {M} m'\mathrm {M'} ={\frac {1}{2}}m'\mathrm {M'.MA} \,;$

c’est-à-dire,

$\operatorname {d} \Sigma ={\frac {1}{2}}(R+\operatorname {d} R)\operatorname {d} S,\qquad \operatorname {d} \sigma ={\frac {1}{2}}(r+\operatorname {d} r)\operatorname {d} S\operatorname {Cos} .\theta \,;$

ou, en supprimant les termes de deux dimensions en différentielles,

$\operatorname {d} \Sigma ={\frac {1}{2}}R\operatorname {d} S,\quad (\mathrm {3} )\qquad \operatorname {d} \sigma ={\frac {1}{2}}r\operatorname {d} S\operatorname {Cos} .\theta .\quad$(4)

Ces quatre formules, qu’il serait assez difficile d’obtenir par les procédés ordinaires de la géométrie analitique, répondent à la figure telle que nous l’avons supposé construite ; mais il sera aisé, dans tous les cas, d’y faire les changemens de signes qu’exigeront les circonstances particulières dans lesquelles on pourra se trouver.

Pour deux développées obliques d’une même courbe donnée, on obtiendrait évidemment deux systèmes de pareilles équations ; de sorte qu’en affectant d’un accent les symboles relatifs à la seconde développée oblique, nous aurons ; entr’autres formules, les quatre équations