Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/107

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {d} s&=\operatorname {d} r+\operatorname {d} S\operatorname {Sin} .\theta ,\quad (\mathrm {1} )&\qquad \operatorname {d} s'&=\operatorname {d} r'+\operatorname {d} S\operatorname {Sin} .\theta ',\quad (\mathrm {1} '),\\{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} S}}&={\frac {1}{R}}-{\frac {\operatorname {Cos} .\theta }{r}},\qquad (\mathrm {2} )&\qquad {\frac {\operatorname {d} \theta '}{\operatorname {d} S}}&={\frac {1}{R}}-{\frac {\operatorname {Cos} .\theta '}{r'}},\qquad (\mathrm {2'} ).\end{alignedat}}$

Présentement nous pouvons supposer que les rayons de courbure de l’une des deux séries sont des rayons iacidens, tous tangens à une des développées obliques ; que la courbe proposée est une courbe réfléchissante ou séparatrice de deux milieux homogènes de densité différente à et qu’enfin les rayons de courbure obliques de l’autre série sont les rayons réfléchis ou réfractés à la rencontre de cette courbe, tous tangens à l’autre développée oblique qui sera ainsi la caustique par réflexion ou par réfraction, formée par ces mêmes rayons. Pour cela, il nous faudra, suivant les lois de l’optique, joindre aux quatre équations ci-dessus, l’équation

${\frac {\operatorname {Sin} .\theta }{\operatorname {Sin} .\theta '}}={\frac {\lambda }{\lambda '}},\qquad$(5)

$\lambda$ et $\lambda '$ étant deux nombres constans qui, dans le cas particulier de la réflexion, ne différeront l’un de l’autre que par le signe.

En différentiant l’équation (5), il vient

$\operatorname {d} \theta \operatorname {Sin} .\theta '\operatorname {Cos} .\theta -\operatorname {d} \theta '\operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Cos} .\theta '=0,$

ou bien

${\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} S}}\operatorname {Sin} .\theta '\operatorname {Cos} .\theta -{\frac {\operatorname {d} \theta '}{\operatorname {d} S}}\operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Cos} .\theta '=0\,;$

mettant dans cette dernière équation pour ${\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} S}}$ et ${\frac {\operatorname {d} \theta '}{\operatorname {d} S}}$ leurs valeurs données par les équations (2) et (2’), elle deviendra

${\frac {\operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Cos} .^{2}\theta '}{r'}}-{\frac {\operatorname {Sin} .\theta '\operatorname {Cos} .^{2}\theta }{r}}={\frac {\operatorname {Sin} .(\theta -\theta ')}{R}}.\qquad$(6)