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mais ici $r'$ et $r''$ ont une même direction qui contient les deux points d’incidence ; de sorte que la distance entre ce» deux derniers points devra être égale à leur somme ou à leur différence, en désignant donc par $e$ cette distance, on aura

$e={\frac {\lambda '''\operatorname {Cos} .^{2}\theta ''}{{\frac {\lambda ''\operatorname {Cos} .^{2}\theta '''}{r'''}}-{\frac {\lambda ''\operatorname {Cos} .\theta '''-\lambda '''\operatorname {Cos} .\theta ''}{R'}}}}\pm {\frac {\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\theta '}{{\frac {\lambda '\operatorname {Cos} .^{2}\theta }{r}}+{\frac {\lambda \operatorname {Cos} .\theta '-\lambda '\operatorname {Cos} .\theta }{R}}}}\,;\quad$(11)

formule qui, en y considérant $r'''$ comme inconnue, servira à trouver immédiatement par points la caustique résultant de deux réfractions consécutives, sans qu’on soit obligé de tracer la caustique intermédiaire.

Si, en particulier, les deux surfaces séparatrices sont deux faces d’un même corps transparent, il faudra joindre à l’équation (11) la double équation

${\frac {\operatorname {Sin} .\theta }{\operatorname {Sin} .\theta '}}={\frac {\operatorname {Sin} .\theta '''}{\operatorname {Sin} .\theta ''}}={\frac {\lambda }{\lambda '}}\,;\qquad$(12)

on peut donc considérer le système de ces deux équations comme renfermant toute la théorie des lentilles de toute nature dont on pourra ainsi déterminer les foyers sans négliger leur épaisseur, comme on le fait communément.

Des équations (1) et (1’) on tire, en transposant et divisant,

${\frac {\operatorname {d} s-\operatorname {d} r}{\operatorname {d} s'-\operatorname {d} r'}}={\frac {\operatorname {Sin} .\theta }{\operatorname {Sin} .\theta '}}={\frac {\lambda }{\lambda '}},$

d’où

${\frac {\operatorname {d} s-\operatorname {d} r}{\lambda }}={\frac {\operatorname {d} s'-\operatorname {d} r'}{\lambda '}}\,;$

ce qui donne, en intégrant,

${\frac {s-r}{\lambda }}-{\frac {s'-r'}{\lambda '}}=C,$