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$C$ étant la constante arbitraire. Si l’on fait commencer ensemble les arcs $s$ et $s'$ et qu’on désigne par $r_{0}$ et $r'_{0}$ les rayons incidens et réfractés qui répondent à leur origine, on aura

$-{\frac {r_{0}}{\lambda }}+{\frac {r'_{0}}{\lambda '}}=C\,;$

d’où, en retranchant et transposant,

${\frac {s+r_{0}-r}{\lambda }}={\frac {s'+r'_{0}-r'}{\lambda '}}.\qquad$(13)

Si l’on demande quelle doit être la courbe séparatrice pour que les rayons émanés d’un certain point concourent, après leur réfraction, en un autre point, il faudra poser $s=0$ et $s'=0,$ au moyen de quoi l’équation (13) deviendra

${\frac {r}{\lambda }}-{\frac {r'}{\lambda '}}={\frac {r_{0}}{\lambda }}-{\frac {r'_{0}}{\lambda '}}=\mathrm {Const} .\qquad$(14)

Telle est donc la relation entre les distances $r$ et $r'$ des différens points de la courbe demandée aux deux points fixes donnés ; d’où il est aisé de conclure que l’équation de cette courbe, en coordonnées rectangulaires, s’élèverait au quatrième degré. Ces sortes de courbes ont été appelées lignes aplanétiques par M. Quetelet qui en a fait le sujet de diverses recherches fort curieuses, soit dans sa Correspondance, soit dans des mémoires spéciaux.

Tout ce qui vient d’être dit s’applique immédiatement à la réflexion, en supposant simplement $\theta '=-\theta ,$ d’où $\operatorname {Sin} .\theta '=-\operatorname {Sin} .\theta ,\ \operatorname {Cos} .\theta '=\operatorname {Cos} .\theta$ et $\lambda '=-\lambda \,;$ ainsi, d’abord, si des rayons incidens sont tous tangens à une même courbe, en représentant par $r$ la longueur du rayon incident, comptés depuis cette courbe jusqu’au point d’incidence, par $r'$ la longueur du rayon réfléchi, comptée depuis le point d’incidence jusqu’à la caustique, et enfin par $R$ le rayon de courbure de la courbe réfléchissante, au point d’incidence, on aura (6)