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${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}={\frac {2}{R\operatorname {Cos} .\theta }}\,;\qquad$(15)

formule commode pour tracer par points la caustique par réflexion lorsqu’on donne la courbe réfléchissante et celle à laquelle les rayons incidens sont tangens. On ramènerait au surplus à ce problème celui où l’on donnerait une courbe à laquelle les rayons incidens seraient normaux.

Si l’on considère uniquement le rayon incident normal à la courbe réfléchissante, on aura (8)

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}={\frac {2}{R}},\qquad$(16)

ce qui détermine le foyer dans les miroirs circulaires. S'il s’agit du foyer principal ou du foyer des rayons parallèles, on aura (9)

$r'={\frac {R}{2}}.\qquad$(17)

Le point rayonnant étant quelconque, si la ligne réfléchissante est droite, on aura

$r'=-r\,;\qquad$(18)

enfin on parviendrait, au moyen de l’équation (15), à construire directement la caustique qui naîtrait d’un nombre quelconque de réflexions consécutives, sans être obligé de construire les caustiques intermédiaires. Quant à la ligne aplanétique par réflexion, elle sera donnée (14) par l’équation

$r+r'=\mathrm {Const} .\,;$

c’est-à-dire que cette ligne sera une ellipse ou une hyperbole suivant que $r$ et $r'$ seront de mêmes signes ou de signes contraires,